Hanf im Matheunterricht

Wie viel geringer ist der Hanfertrag, wenn der Hanf nur halb so hoch wird?

Aufgabe:

Wenn man den Hanf zu spät sät, dann fehlt im Mai oft der Regen. Die Pflanzen werden dann nicht 4 Meter hoch, sondern nur noch 2 Meter hoch.

Was erntet man dann?

Weg:

Normalerweise erntet man bei 4 Meter hohem Hanf 10 t/ha. Wie viel wird erwartet, wenn er 2 Meter hoch wird? Ermittelt soll die Biomasse werden. Biomasse und Tonnage sind proportional.

Wir gehen davon aus, dass immer 50 kg/ha gesät werden und, dass immer gleich viel Pflanzen das Wachstum überleben. Also die Menge an Pflanzen gleich ist, egal ob hoch oder halbhoch.

Eine Pflanze ist schematisch dargestellt eine Pyramide. Das Volumen einer Pyramide ist
V = F * h / 3
F = π * r²

Für halbhoge Pflanzen gilt nun r1 = 1/2 * r2 und h1 = 1/2 * h2.

Folglich ist das Volumen des hohen Hanfes V = π * r² * h

und das Volumen des halbhohen Hanfes V2 = π * (r/2)² * h/2 V2 = π * r² * h / (4*2) V2 = V / 8.

Antwortsatz:

Wenn aufgrund Wassermangels die Pflanzen nur halb hoch werden, sinkt die Ertragserwartung auf 1/2³ = 1/8. Die Erwartung von 10 t/ha bei normalen Bestand sinkt auf 1,25 t/ha bei halbhohem Bestand.